Automi cellulari

L’insieme cellulare di Conway è servito: un programma educativo alla scoperta del gioco della vita

Dopo aver spiegato le regole su cui si basa il gioco della vita di Conway e più in generale degli insiemi cellulari a due dimensioni, vi presento una sua implementazione software, open-source e gratuita, sviluppato in C# (WPF .NET Framework 4). Di seguito un video con le principali funzionalità e caratteristiche:

E’ possibile impostare la regola S/B (Survivor / Born), la dimensione dell’insieme, il numero di stati e i relativi colori. E’ possibile variare il modello di rendering dei singoli automi (punti, palle, quadrati) e variarne la dimensione. Impostare una condizione iniziale in qualsiasi momento, disegnando direttamente all’interno dell’insieme. Esportare in vari formati: gif animata, PNGs, video Avi. Possibilità di importare modelli codificati nel formato RLE, e salvarli in locale utilizzando un formato proprietario.

Qui un paio di gif animate di esempio su cosa si può ottenere con il programma:
Gioco della Vita Regola S012345689/B3
Regola S012345689/B3

Gioco della Vita Regola S1234/B3
Regola S1234/B3

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L’insieme cellulare di Wolfram è servito: un programma educativo alla scoperta degli automi cellulari unidimensionali

Dopo i recenti articoli pubblicati Rendering grafico in GDI e WPF e Calcolo parallelo applicato agli automi cellulari ecco un video dimostrativo sul mondo cellulare di Wolfram.

Scritto in C# WPF (.NET Framework 4) e compilato con Visual Studio 2010, il codice sorgente e l’eseguibile sono scaricabili dalla pagina cellular-automata-world ospitata su google code.

Come renderizzare automi cellulari a due dimensioni con GDI e WPF

Ok, noi abbiamo il nostro automa cellulare bidimensionale, un divertente gioco della vita interattivo implementato in C# / WPF. Vediamo come estendere il rendering grafico ad armoniose e più interessanti varianti. Definiamo prima di tutto l’interfaccia IRender:

public interface IRender {
  int CellSize { get; set; }
  void SetColorPalette(IList<System.Drawing.SolidBrush> colorsPalette);
  void SetColorPalette(IList<System.Windows.Media.Color> colorsPalette);
  System.Windows.Controls.Image Render(byte[] buf, int width, int height);
}

 
Il rendering base, basato cioè sulla corrispondenza “cella” -> “1×1 pixel su schermo” viene implementato agevolmente utilizzando BitmapImage.Create():

class RenderBase : IRender {
  public int CellSize { get { return 1; } set { } }
  private BitmapPalette Palette = BitmapPalettes.BlackAndWhite;
  public void SetColorPalette(IList<System.Drawing.SolidBrush> colorsPalette) {
    Palette = new BitmapPalette(ImageUtils.ConvertPaletteInMediaColor(colorsPalette));
  }
  public void SetColorPalette(IList<System.Windows.Media.Color> colorsPalette) {
    Palette = new BitmapPalette(colorsPalette);
  }

  public System.Windows.Controls.Image Render(byte[] buf, int width, int height) {
    const double dpi = 96;
    return new Image() {
      Source = BitmapImage.Create((int)width, (int)height, dpi, dpi,
        PixelFormats.Indexed8, Palette, buf, (int)width)
    };
  }
  public override string ToString() {
    return "1x1 Pixel (fastest)";
  }
}

 
Per ottenere diversi render più complessi, basati sulla forma della singola cella e relativamente al bordo della stessa, creiamo una classe astratta RenderGraphics che utilizza le librerie grafiche GDI+ per il disegno delle singole celle e la composizione dell’ambiente.

abstract class RenderGraphics : IRender {
  public int CellSize { get; set; }
  protected IList<System.Drawing.SolidBrush> Palette { get; private set; }

  public void SetColorPalette(IList<System.Drawing.SolidBrush> colorsPalette) {
    foreach (System.Drawing.SolidBrush brush in Palette)
      brush.Dispose();
    Palette = colorsPalette;
  }
  public void SetColorPalette(IList<System.Windows.Media.Color> colorsPalette) {
    Palette = ImageUtils.ConvertPaletteInDrawingBrush(colorsPalette);
  }

  public System.Windows.Controls.Image Render(byte[] buf, int width, int height) {
    using (Bitmap b = new Bitmap(width * CellSize, height * CellSize)) {
      using (Graphics g = Graphics.FromImage(b)) {
        g.PixelOffsetMode = System.Drawing.Drawing2D.PixelOffsetMode.None;
        g.SmoothingMode = System.Drawing.Drawing2D.SmoothingMode.None;
        g.CompositingMode = System.Drawing.Drawing2D.CompositingMode.SourceCopy;
        g.CompositingQuality = System.Drawing.Drawing2D.CompositingQuality.HighSpeed;
        for (int i = 0; i < width * height; i++) {
          int x = (int)(i % width);
          int y = (int)(i / width);
          Draw(g, Palette[buf[i]], x, y);
        }
      }

      return ImageUtils.ConvertToWpfImage(b);
    }
  }

  protected abstract void Draw(Graphics g, System.Drawing.SolidBrush brush, int x, int y);
}

 
I diversi rendering grafici si ottengono estendendo RenderGraphics e implementando il metodo Draw():

class RenderFilledRects : RenderGraphics {
  public override string ToString() { return "Filled Rects without border"; }
  protected override void Draw(Graphics g, System.Drawing.SolidBrush brush, int x, int y) {
    g.FillRectangle(brush, x + (CellSize - 1) * x, y + (CellSize - 1) * y, CellSize, CellSize);
  }
}
class RenderFilledRectsBorder : RenderGraphics {
  public override string ToString() {	return "Filled Rects with border"; }
  protected override void Draw(Graphics g, System.Drawing.SolidBrush brush, int x, int y) {
    g.FillRectangle(brush, x + (CellSize - 1) * x, y + (CellSize - 1) * y, CellSize - 1, CellSize - 1);
  }
}
class RenderFilledDots : RenderGraphics {
  public override string ToString() { return "Filled Dots without border"; }
  protected override void Draw(Graphics g, SolidBrush brush, int x, int y) {
    g.FillEllipse(brush, x + (CellSize-1) * x, y + (CellSize-1) * y, CellSize+1, CellSize+1);
  }
}
class RenderFilledDotsBorder : RenderGraphics {
  public override string ToString() { return "Filled Dots with border"; }
  protected override void Draw(Graphics g, SolidBrush brush, int x, int y) {
    g.FillEllipse(brush, x + (CellSize - 1) * x, y + (CellSize - 1) * y, CellSize-1, CellSize-1);
  }		
}
class RenderEmptyDots : RenderGraphics {
  public override string ToString() { return "Empty Dots"; }
  protected override void Draw(Graphics g, SolidBrush brush, int x, int y) {
    g.DrawEllipse(new Pen(brush, 1), x + (CellSize - 1) * x, y + (CellSize - 1) * y, CellSize - 2, CellSize - 2);
  }		
}
class RenderEmptyRects : RenderGraphics {
  public override string ToString() { return "Empty Rects"; }
  protected override void Draw(Graphics g, SolidBrush brush, int x, int y) {
    g.DrawRectangle(new Pen(brush, 1), x + (CellSize - 1) * x, y + (CellSize - 1) * y, CellSize - 2, CellSize - 2);
  }
}
game of life animated gif

Gioco della vita renderizzato a cubetti

Calcolo parallelo applicato agli automi cellulari

Un piccolo esempio per tastare la praticità e l’eleganza delle nuove funzionalità di calcolo parallelo introdotte dal .NET Framework 4. La classe Parallel fornisce semplicemente e senza tante complicazioni metodi statici che permettono di sfruttare al meglio l’archittettura multicore in cui viene eseguita l’applicazione. Vediamo un esempio applicato agli automi cellulari, più precisamente al gioco della vita:

public override bool Next() {
  GenerationCount++;
  Environment2D etmp = new Environment2D(Env.Width, Env.Height);
  Parallel.For(0, Env.Width, x => {
    Parallel.For(0, Env.Height, y => {
      etmp.SetValue(x, y, ComputeRule(x, y));
    });
  });
  Env = etmp;
  return true;
}		

dove Next() calcola la nuova generazione dell’automa, computando per ogni cella dell’ambiente il nuovo valore, che come tutti sapranno, dipende dallo stato delle celle dell’intorno.

Vediamo ora la versione non parallela, formata semplicemente da due cicli for annidati, che spazzano in sequenza le celle dell’ambiente.

public override bool Next() {
  GenerationCount++;
  Environment2D etmp = new Environment2D(Env.Width, Env.Height);
  for (int x = 0; x < Env.Width; x++)
    for (int y = 0; y < Env.Height; y++)
      etmp.SetValue(x, y, ComputeRule(x, y));
  Env = etmp;
  return true;
}				

Simpatico e divertente, non come implementare una logica basata su thread che poi chissà cosa ti combinano questi furbi e malandrini thread 😦 bella questa classe System.Threading.Tasks.Parallel!

Per la cronaca, su un Intel Core2 Quad Q6600 (2,40Ghz) con quattro core separati e RAM da 3Gb, il mio algoritmo risulta tre volte più veloce!

Come implementare il Gioco della Vita di Conway in C#

Dopo il primo post sugli automi di Wolfram, passiamo allo studio ben più interessante e vario degli automi a due dimensioni. Un mondo artificiale, chiamato comunemente “Game of Life” gioco della vita perchè è un misto variegato di pattern e conglomerati di bytes che si raccolgono e si evolvono in fantasiose creature, o variegati accrescimenti sincronizzati, o in una morte certa ed atroce, fa sempre un po’ tristezza quando ti muore un automa cellulare, sono momenti che non vorresti mai accadessero nella tua vita. Non è giusto che un automa vive solo perchè ha delle regole favorevoli o delle condizioni iniziali tarate ad hoc da una entità superiore. Personalmente non trovo giusto ed eticamente corretto che si creino degli automi cellulari per poi farli morire, o ancora peggio per godere mentre questi muoiono nell’indifferenza più totale della società moderna. Un po’ come Pernolino il tenero buchino nero, tanto amato ma tanto temuto del mondo intero. Per questo mi impegnerò nella salvaguardia degli automi cellulari, voglio fondare una associazione, in modo tale da organizzare una forza lavoro per raccogliere risorse, dibattiti, divulgazione, volantini informativi. Tutti devono sapere che gli automi cellulari esistono e molti incontrano la morte solo dopo neanche un paio di cicli di evoluzione!

Accrescimento cellulare sincronizzato

Accrescimento cellulare sincronizzato generato dal Gioco della Vita regola S23/B246.

Accrescimento cellulare incontrollato game of life conway

Accrescimento cellulare incontrollato generato dalla regola S23/B2356

Replicatore cellulare Game of Life Conway

Replicatore cellulare generato dalla regola S1357/B1357

Espanditore cellulare Game of Life Conway

Espanditore cellulare generato dalla regola S012345678/B3

Espanditore cellulare labirintico Game of Life Conway

Espanditore cellulare labirintico generato dalla regola S1234/B3

Questi sono degli automi cellulari possenti! Sembrano non morire mai, ed infatti così è! Ma ne esistono anche di altamente insicuri e precari, i quali dipendono fortemente dalle condizioni iniziali. Ma sono anche i più interessanti, come il classico gioco della vita di Conway basato sulla regola S23/B3 (qui potete leggervi la descrizione delle regole Game of Life di Conway).

Game of Life S23B356 Conway

Regola S23B356

Vediamo il codice, dove la classe astratta Automata e la classe Environment2D sono descritte nel precedente post sugli automi unidimensionali di Wolfram.

public class Automata2DGameLife : Automata {
  protected readonly List<byte> RuleSurvival = null;
  protected readonly List<byte> RuleBirth = null;

  public Automata2DGameLife(byte[] ruleSurvival, byte[] ruleBirth, Environment2D env0 = null) {
    this.RuleSurvival = ruleSurvival.ToList();
    this.RuleBirth = ruleBirth.ToList();
    this.Env0 = env0;
  }

  public override void StandardInit() {
    if (this.Env0 != null)
      this.Env.Merge(this.Env0);
    else {
      Env.SetValue(Env.Width / 2, Env.Height / 2, 1);
      Env.SetValue(Env.Width / 2 + 1, Env.Height / 2, 1);
      Env.SetValue(Env.Width / 2 - 1, Env.Height / 2 - 1, 1);
      Env.SetValue(Env.Width / 2 - 2, Env.Height / 2 - 1, 1);
      Env.SetValue(Env.Width / 2 - 2, Env.Height / 2 - 2, 1);
      Env.SetValue(Env.Width / 2 - 3, Env.Height / 2 - 2, 1);
      Env.SetValue(Env.Width / 2 - 3, Env.Height / 2 - 3, 1);
      Env.SetValue(Env.Width / 2 - 4, Env.Height / 2 - 2, 1);
    }
  }
  
  public override bool IsFinite() { return false; }
  public override void RandomInit() {
    Env0 = new Environment2D(20, 20);
    Random rand = new Random(Environment.TickCount);
    for (int i = 0; i < (Env.Width * Env.Height); i++) {
      int x = rand.Next(0, Env.Width);
      int y = rand.Next(0, Env.Height);
      Env.SetValue(x, y, (byte)rand.Next(0, 2));
    }
  }
  public override bool Next() {
    Environment2D etmp = new Environment2D(Env.Width, Env.Height);
    for (int x = 0; x < Env.Width; x++)
      for (int y = 0; y < Env.Height; y++)
        etmp.SetValue(x, y, ComputeRule(x, y));

    Env = etmp;
    return true;
  }		
  protected override byte ComputeRule(int x, int y) {
    byte neighbours = GetNeighbours(x, y);
    byte c = Env.GetValue(x, y);
    if (c > 0) {
      return (byte)(RuleSurvival.Contains(neighbours) ? 1 : 0);
    } else {
      return (byte)(RuleBirth.Contains(neighbours) ? 1 : 0);
    }
  }
  private byte GetNeighbours(int x, int y) {
    byte neighbours = 0;
    if (x > 0) { if (Env.GetValue(x - 1, y) > 0) neighbours++; }
    if (x > 0 && y > 0) { if (Env.GetValue(x - 1, y - 1) > 0) neighbours++; }
    if (x > 0 && y < Env.Height - 1) { if (Env.GetValue(x - 1, y + 1) > 0) neighbours++; }
    if (y > 0) { if (Env.GetValue(x, y - 1) > 0) neighbours++; }
    if (y < Env.Height - 1) { if (Env.GetValue(x, y + 1) > 0) neighbours++; }
    if (x < Env.Width - 1 && y > 0) { if (Env.GetValue(x + 1, y - 1) > 0) neighbours++; }
    if (x < Env.Width - 1) { if (Env.GetValue(x + 1, y) > 0) neighbours++; }
    if (x < Env.Width - 1 && y < Env.Height - 1) { if (Env.GetValue(x + 1, y + 1) > 0) neighbours++; }
    return neighbours;
  }  
  public override string ToString() {
    return string.Format("Game of Life S{0}/B{1}",
      string.Concat(RuleSurvival.Select(b => b.ToString()).ToArray()),
      string.Concat(RuleBirth.Select(b => b.ToString()).ToArray()));
  }
}

Come implementare automi cellulari unidimensionali in C#

Dopo il primo post sugli automi cellulari vediamo come implementare il tipo più semplice di automa: l’unidimensionale di Wolfram.

Iniziamo col definire la nostra struttura dati per descrivere l’ambiente dell’automa. Nel caso di automi di Wolfram avremmo bisogno di una matrice a due dimensioni (benchè l’automa venga definito come unidimesnionale abbiamo bisogno della seconda dimensione per descriverne l’evoluzione nel tempo).

public class Environment2D {
  public byte[] Buffer { get; private set; }
  public int Width { get; private set; }
  public int Height { get; private set; }
  public Environment2D(int w, int h) {
    Width = w;
    Height = h;
    Buffer = new byte[w * h];
  }
  public byte GetValue(int x, int y) {
    int i = x + Width * y;
    return Buffer[i];
  }
  public void SetValue(int x, int y, byte value) {
    int i = x + Width * y;
    Buffer[i] = value;
  }
}

Definiamo ora la struttura del nostro automa tramite una classe astratta. E’ una definizione generica che sarà valida anche per automi bidimensionali (come per esempio il famoso gioco della vita di Conway).

public abstract class Automata {
  public Environment2D Env { get; protected set; }
  protected Environment2D Env0 { get; set; }

  public Automata() { Env = new Environment2D(0, 0); Env0 = null; }		
  public int Width { get { return Env.Width; } }
  public int Height { get { return Env.Height; } }
  public abstract bool IsFinite();
  public abstract bool Next();
  public abstract void RandomInit();
  public abstract void StandardInit();
  public virtual void SetSize(int w, int h) { Env = new Environment2D(w, h); }

  protected abstract byte ComputeRule(int x, int y);
}

public enum AutomataInitialCondition {
  Random, Standard
}

L’automa va inizializzato di dimensioni tramite il metodo SetSize(int w, int h), vanno impostate le condizioni iniziali, che possono essere generate casualmente (RandomInit()) oppure attivando solo la cella centrale dell’automa (StandardInit()). Next() calcola e attualizza la nuova generazione, applicando la regola definita in ComputeRule(int x, int y).

Vediamo ora come implementare il caso specifico dell’automa unidimensionale di Wolfram.
Mi preme introdurre la definizione di notazione di Wolfram, che potete dolcemente leggervela su Wikipedia.

public class Automata1DWolfram : Automata {
  private int x = 0;
  private int y = 0;
  private byte rule;
  private byte[, ,] tt = new byte[2, 2, 2];
  public Automata1DWolfram(byte rule) {
    this.rule = rule;
    tt[0, 0, 0] = (byte)((rule & 1) > 0 ? 1 : 0);
    tt[0, 0, 1] = (byte)((rule & 2) > 0 ? 1 : 0);
    tt[0, 1, 0] = (byte)((rule & 4) > 0 ? 1 : 0);
    tt[0, 1, 1] = (byte)((rule & 8) > 0 ? 1 : 0);
    tt[1, 0, 0] = (byte)((rule & 16) > 0 ? 1 : 0);
    tt[1, 0, 1] = (byte)((rule & 32) > 0 ? 1 : 0);
    tt[1, 1, 0] = (byte)((rule & 64) > 0 ? 1 : 0);
    tt[1, 1, 1] = (byte)((rule & 128) > 0 ? 1 : 0);
  }
  public override bool IsFinite() {	return true; }
  public override void SetSize(int w, int h) { Env = new Environment2D(w, h);	}
  public override void RandomInit() {
    Random rand = new Random(Environment.TickCount);
    for (x = 0, y = 0; x < Env.Width; x++)
      Env.SetValue(x, y, (byte)rand.Next(0, 2));
    x = 0;
    y = 1;
  }
  public override void StandardInit() {
    Env.SetValue(Env.Width / 2, 0, 1);
    x = 0;
    y = 1;
  }
  public override bool Next() {
    for (int i = 0; i < Env.Width; i++) {
      if (y >= Env.Height)
        return false;

      Env.SetValue(x, y, (byte)(ComputeRule(x, y)));
      if (x == Env.Width - 1) {
        x = 0;
        y++;
      } else
        x++;
    }

    return true;
  }		
  protected override byte ComputeRule(int x, int y) {
    byte l = Env.GetValue(x == 0 ? 0 : x - 1, y - 1);
    byte c = Env.GetValue(x, y - 1);
    byte r = Env.GetValue(x == Env.Width - 1 ? x : x + 1, y - 1);
    return tt[l, c, r];
  }
  public override string ToString() {
    return string.Format("Wolfram Rule {0}", rule);
  }
}

L’automa è ben che implementato in tutta la sua gustosità, il parametro rule passato nel costruttore Automata1DWolfram(byte rule) definisce la regola che identifica univocamente l’automa cellulare di Wolfram. Un po’ come una legge universale che decide la vita e la morte degli esemplari di una popolazione, un po’ come un Dio che determina le sorti di un mondo immaginario ma ben regolato da leggi fisiche e strutturato da fondamenti matematici. Per ognuna delle otto possibili configurazioni dell’intorno viene deciso (la regola!) se la cella dovrà vivere o morire.

Wolfram Regola 30

L'immagine visualizza la regola 30 di Wolfram (30 = 00011110 in decimale).

In WPF, utilizzando una UniformGrid, è semplice quanto banale creare una vista d’insieme degli 256 possibili automi cellulari di Wolfram, vi allungo qualche immagine direttamente dal mio schermo.

Wolfram Rules 1 Cell Initial Condition

Le 256 regole di Wolfram, con una cella attiva come condizione iniziale.

Wolfram Rules with Random Initial Condition

Le 256 regole di Wolfram, con condizione iniziale casuale.



Ho caricato l’eseguibile e i sorgenti del progetto in questa pagina: cellular-automata-world. Se qualcuno volesse contribuire, si faccia avanti! ;=)

Libri e appunti sugli automi cellulari

appunti sugli automi cellulari

Alcuni esempi di automi cellulari unidimensionali

Raccolgo qui delle risorse sugli automi cellulari, come base per iniziare a conoscerli e comprenderli. Non è una cosa facile percepirne la loro potenzialità e il loro significato intrinseco. Con automa cellulare si intende un modello matematico discreto in grado di descrivere perfettamente un sistema biologico complesso, come ad esempio la crescita di una foglia di palma, le fantasiose colorazioni di una conchiglia, la proliferazione nello spazio di una certa specie biologica.
 

Come l'automa cellulare descrive pattern biologici

Come l'automa cellulare descrive pattern biologici


Immagine da Cellular Automata.
 

Ho creato una pagina su facebook sugli automi cellulari, unico luogo di ritrovo italiano dove poter scambiare informazioni e conoscenze!

Qui un elenco di articoli e pubblicazioni interessanti trovati in rete:

 

Vi consiglio A New Kind of Science, il libro bibbia sugli automi cellulari. E’ stato scritto dal fisico matematico Stephen Wolfram, che negli anni ottanta sperimentò per primo automi cellulari computazionali.

Altri libri di interesse: